diff --git a/lectures/var_dmd.md b/lectures/var_dmd.md
index 93b97b6..be4c04f 100644
--- a/lectures/var_dmd.md
+++ b/lectures/var_dmd.md
@@ -4,46 +4,46 @@ jupytext:
     extension: .md
     format_name: myst
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-    jupytext_version: 1.10.3
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 kernelspec:
-  display_name: Python 3
+  display_name: Python 3 (ipykernel)
   language: python
   name: python3
 ---
 
 # 向量自回归和动态模态分解
 
-本讲座应用我们在 {doc}`奇异值分解 <svd_intro>` 讲座中学到的计算方法来研究：
+本节讲座中，我们将应用在 {doc}`奇异值分解 <svd_intro>` 中学到的计算方法来研究：
 
-* 一阶向量自回归(VARs)
-* 动态模态分解(DMDs)
-* DMDs和一阶VARs之间的联系
+* 一阶向量自回归 (VARs)
+* 动态模态分解 (DMDs)
+* 一阶向量自回归和动态模态分解之间的联系
 
 ## 一阶向量自回归
 
-我们要拟合一个**一阶向量自回归**
+我们想要拟合一个**一阶向量自回归**
 
 $$
 X_{t+1} = A X_t + C \epsilon_{t+1}, \quad \epsilon_{t+1} \perp X_t 
 $$ (eq:VARfirstorder)
 
-其中 $\epsilon_{t+1}$ 是一个独立同分布的 $m \times 1$ 随机向量序列的时间 $t+1$ 分量，该序列具有零均值向量和单位协方差矩阵，而 $ m \times 1 $ 向量 $ X_t $ 为：
+其中，$\epsilon_{t+1}$ 是一个独立同分布的随机向量序列 $m \times 1$ 在时间$t+1$ 的分量，且该序列有零均值向量和单位协方差矩阵；而 $ m \times 1 $ 的向量 $ X_t $ 是：
 
 $$
 X_t = \begin{bmatrix}  X_{1,t} & X_{2,t} & \cdots & X_{m,t}     \end{bmatrix}^\top 
 $$ (eq:Xvector)
 
-其中 $\cdot ^\top $ 再次表示复数转置，$ X_{i,t} $ 是时间 $ t $ 的变量 $ i $。
+其中 $\cdot ^\top $ 表示共轭转置，$ X_{i,t} $ 是时间 $ t $ 时的变量 $ i $。 
 
 我们想要拟合方程 {eq}`eq:VARfirstorder`。
 
-我们的数据组织在一个 $ m \times (n+1) $ 矩阵 $ \tilde X $ 中
+我们的数据则存储在一个 $ m \times (n+1) $ 的矩阵 $ \tilde X $ 中
 
 $$
 \tilde X =  \begin{bmatrix} X_1 \mid X_2 \mid \cdots \mid X_n \mid X_{n+1} \end{bmatrix}
 $$
 
-其中对于 $ t = 1, \ldots, n +1 $，$ m \times 1 $ 向量 $ X_t $ 由 {eq}`eq:Xvector` 给出。
+其中对于 $ t = 1, \ldots, n +1 $时，$ m \times 1 $ 的向量 $ X_t $ 由 {eq}`eq:Xvector` 给出。
 
 因此，我们想要估计一个系统 {eq}`eq:VARfirstorder`，它由 $ m $ 个最小二乘回归组成，将**所有变量**对**所有变量**的一阶滞后值进行回归。
 
@@ -51,7 +51,7 @@ $$
 
 我们按如下步骤进行。
 
-从 $ \tilde X $ 中，我们形成两个 $m \times n$ 矩阵
+从 $ \tilde X $ 中，我们构造以下两个 $m \times n$ 矩阵
 
 $$
 X =  \begin{bmatrix} X_1 \mid X_2 \mid \cdots \mid X_{n}\end{bmatrix}
@@ -63,68 +63,68 @@ $$
 X' =  \begin{bmatrix} X_2 \mid X_3 \mid \cdots \mid X_{n+1}\end{bmatrix}
 $$
 
-这里的 $ ' $ 是矩阵 $ X' $ 名称的一部分，并不表示矩阵转置。
+这里的 $ ' $ 是矩阵 $ X' $ 的名称的一部分，并不表示矩阵转置。
 
 我们使用 $\cdot^\top $ 来表示矩阵转置或其在复矩阵中的扩展。
 
-在构造 $ X $ 和 $ X' $ 时，我们在每种情况下都从 $ \tilde X $ 中删除了一列，对于 $ X $ 是删除最后一列，对于 $ X' $ 是删除第一列。
+在构造 $ X $ 和 $ X' $ 的过程中，我们都从 $ \tilde X $ 中删除了某一列，$ X $ 是删除最后一列，$ X' $ 则是删除第一列。
 
-显然，$ X $ 和 $ X' $ 都是 $ m \times n $ 矩阵。
+显然，$ X $ 和 $ X' $ 都是 $ m \times n $ 的矩阵。
 
 我们用 $ p \leq \min(m, n) $ 表示 $ X $ 的秩。
 
 我们感兴趣的两种情况是：
 
-* $ n > > m $，即时间序列观测值数量 $n$ 远大于变量数量 $m$
-* $ m > > n $，即变量数量 $m$ 远大于时间序列观测值数量 $n$
+* $ n > > m $，即时间序列观测值的数量 $n$ 远大于变量的数量 $m$
+* $ m > > n $，即变量的数量 $m$ 远大于时间序列观测值的数量 $n$
 
-在包含这两种特殊情况的一般层面上，有一个共同的公式描述了 $A$ 的最小二乘估计量 $\hat A$。
+在考虑了这两种特殊情况的一般情况中，有一个通用的公式描述了 $A$ 的最小二乘估计量 $\hat A$。
 
 但重要的细节有所不同。
 
-这个共同的公式是：
+这个通用的公式是：
 
 $$ 
 \hat A = X' X^+ 
 $$ (eq:commonA)
 
-其中 $X^+$ 是 $X$ 的伪逆。
+其中 $X^+$ 是 $X$ 的广义逆矩阵，或伪逆。
 
-关于**Moore-Penrose伪逆**的详细信息，请参见[Moore-Penrose伪逆](https://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_inverse)
+关于**穆尔-彭罗斯广义逆矩阵**的详细信息，请参见[穆尔-彭罗斯广义逆矩阵](https://baike.baidu.com/item/穆尔-彭罗斯广义逆矩阵/22770999?fr=aladdin)<!-- 中文语境下使用广义逆矩阵的语料远多于伪逆，所以后文统一使用广义逆矩阵 -->
 
-伪逆的适用公式在我们的两种情况下有所不同。
+在我们的两种情况下，广义逆矩阵适用的公式有所不同。
 
-**短胖情况：**
+**短胖型情况：**
 
-当$n >> m$时，即时间序列观测值$n$远多于变量$m$，且当$X$具有线性独立的**行**时，$X X^\top$有逆矩阵，伪逆$X^+$为
+当$n >> m$时，即时间序列的观测值$n$远多于变量的数量$m$，且当$X$具有线性独立的**行**时，$X X^\top$的逆矩阵存在，且广义逆矩阵$X^+$为
 
 $$
 X^+ = X^\top  (X X^\top )^{-1} 
 $$
 
-这里$X^+$是一个**右逆**，满足$X X^+ = I_{m \times m}$。
+这里$X^+$是一个满足$X X^+ = I_{m \times m}$的**右逆**，。
 
-在这种情况下，我们用于估计总体回归系数矩阵$A$的最小二乘估计量的公式{eq}`eq:commonA`变为
+在这种情况下，我们用于估计总体回归系数矩阵$A$的最小二乘估计量的公式{eq}`eq:commonA`就变为
 
 $$ 
 \hat A = X' X^\top  (X X^\top )^{-1}
 $$ (eq:Ahatform101)
 
-这个最小二乘回归系数的公式在计量经济学中被广泛使用。
+这个计算最小二乘回归系数的公式在计量经济学中被广泛地使用。
 
-它被用于估计向量自回归。
+它也被用于估计向量自回归。
 
-公式{eq}`eq:Ahatform101`右边与$X_{t+1}$和$X_t$的经验交叉二阶矩矩阵成正比，并乘以$X_t$二阶矩矩阵的逆。
+公式{eq}`eq:Ahatform101`的右边，正比于$X_{t+1}$和$X_t$的经验交叉二阶矩矩，乘以$X_t$二阶矩阵的逆矩阵。
 
 **高瘦型情况：**
 
-当$m > > n$时，即属性数量$m$远大于时间序列观测值$n$，且当$X$的**列**线性独立时，$X^\top X$有逆矩阵，伪逆$X^+$为
+当$m > > n$时，即属性数量$m$远大于时间序列的观测值$n$，且当$X$的**列**线性独立时，$X^\top X$的逆矩阵存在，且广义逆矩阵$X^+$为
 
 $$
 X^+ = (X^\top X)^{-1} X^\top 
 $$
 
-这里$X^+$是一个**左逆**，满足$X^+ X = I_{n \times n}$。
+这里$X^+$是一个满足$X^+ X = I_{n \times n}$的**左逆**，。
 
 在这种情况下，我们用于估计$A$的最小二乘估计公式{eq}`eq:commonA`变为
 
@@ -132,11 +132,11 @@ $$
 \hat A = X' (X^\top X)^{-1} X^\top 
 $$ (eq:hatAversion0)
 
-请比较公式{eq}`eq:Ahatform101`和{eq}`eq:hatAversion0`中的$\hat A$。
+请比较{eq}`eq:Ahatform101`和{eq}`eq:hatAversion0`中$\hat A$的表达式。
 
 这里我们特别关注公式{eq}`eq:hatAversion0`。
 
-$\hat A$的第$i$行是一个$m \times 1$向量，包含了$X_{i,t+1}$对$X_{j,t}, j = 1, \ldots, m$回归的系数。
+$\hat A$的第$i$行是一个$m \times 1$的向量，其中包含了$X_{i,t+1}$对$X_{j,t}, j = 1, \ldots, m$回归的系数。
 
 如果我们使用公式{eq}`eq:hatAversion0`来计算$\hat A X$，我们发现
 
@@ -144,19 +144,19 @@ $$
 \hat A X = X'
 $$
 
-因此回归方程**完美拟合**。
+因此回归方程**完全拟合**。
 
-这是**欠定最小二乘**模型中的典型结果。
+这是**欠定最小二乘**模型中典型的结果。
 
-重申一下，在**高瘦**情况下(在{doc}`奇异值分解<svd_intro>`中描述)，即观测数量$n$相对于向量$X_t$中出现的属性数量$m$较小时，我们想要拟合方程{eq}`eq:VARfirstorder`。
+再次重申，**高瘦**情况(见{doc}`奇异值分解<svd_intro>`)指观测的数量$n$相对于向量$X_t$属性的数量$m$较小时，我们想要拟合方程{eq}`eq:VARfirstorder`。
 
-我们面临着最小二乘估计量是欠定的，且回归方程完美拟合的事实。
+我们面临着最小二乘估计量是欠定的，且回归方程完全拟合的事实。
 
-要继续，我们需要高效地计算伪逆$X^+$。
+接下来，我们想要更加高效地计算广义逆矩阵$X^+$。
 
-伪逆$X^+$将是我们$A$估计量的一个组成部分。
+广义逆矩阵$X^+$将是我们$A$估计量的一个组成部分。
 
-作为我们对$A$的估计量$\hat A$，我们想要形成一个$m \times m$矩阵，它解决最小二乘最佳拟合问题
+作为对$A$的估计量$\hat A$，我们想要形成一个$m \times m$的矩阵，来解决最小二乘最佳拟合问题
 
 $$ 
 \hat A = \textrm{argmin}_{\check A} || X' - \check  A X ||_F
@@ -171,31 +171,31 @@ $$
  ||A||_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m |A_{ij}|^2 }
 $$
 
-方程{eq}`eq:ALSeqn`右侧的最小化解为
+方程{eq}`eq:ALSeqn`右侧的最小值解为
 
 $$
 \hat A =  X'  X^{+}  
 $$ (eq:hatAform)
 
-其中（可能巨大的）$ n \times m $ 矩阵 $ X^{+} = (X^\top  X)^{-1} X^\top $ 再次是 $ X $ 的伪逆。
+其中（可能是巨大的）$ n \times m $ 的矩阵 $ X^{+} = (X^\top  X)^{-1} X^\top $ 同样是 $ X $ 的广义逆矩阵。
 
-对于我们感兴趣的某些情况，$X^\top  X $ 可能接近奇异，这种情况会使某些数值算法变得不准确。
+对于我们感兴趣的一些情况，$X^\top  X $ 可能接近奇异，这种情况会使某些数值算法变得不准确。
 
 为了应对这种可能性，我们将使用高效的算法来构建公式{eq}`eq:hatAversion0`中 $\hat A$ 的**降秩近似**。
 
-这种对我们的向量自回归的近似将不再完全拟合。
+这种近似方式，让我们的向量自回归估计不再完全拟合。
 
 $ \hat A $ 的第 $ i $ 行是一个 $ m \times 1 $ 的回归系数向量，表示 $ X_{i,t+1} $ 对 $ X_{j,t}, j = 1, \ldots, m $ 的回归。
 
-计算伪逆$X^+$的一个有效方法是从奇异值分解开始
+一种高效计算广义逆矩阵$X^+$的方式是从奇异值分解开始
 
 $$
 X =  U \Sigma  V^\top  
 $$ (eq:SVDDMD)
 
-这里我们需要提醒自己，对于**简化的**SVD，$X$是一个$m \times n$的数据矩阵，$U$是一个$m \times p$的矩阵，$\Sigma$是一个$p \times p$的矩阵，而$V$是一个$n \times p$的矩阵。
+这里我们提醒自己，这个**简化**SVD中，$X$是一个$m \times n$的数据矩阵，$U$是一个$m \times p$的矩阵，$\Sigma$是一个$p \times p$的矩阵，而$V$是一个$n \times p$的矩阵。
 
-通过认识到以下一系列等式，我们可以有效地构造相关的伪逆$X^+$。
+通过以下一系列等式，我们可以有效地构造相关的广义逆矩阵$X^+$。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -207,9 +207,9 @@ X^{+} & = (X^\top  X)^{-1} X^\top  \\
 \end{aligned}
 $$ (eq:efficientpseudoinverse)
 
-（由于我们处在$m > > n$的情况下，在简化SVD中$V^\top  V = I_{p \times p}$，因此我们可以将前面的等式序列同时用于简化SVD和完整SVD。）
+（由于$m > > n$，在简化SVD中$V^\top  V = I_{p \times p}$，因此我们可以将前面的一系列等式同时用于简化SVD和完整SVD。）
 
-因此，我们将使用方程{eq}`eq:SVDDMD`中$X$的奇异值分解来构造$X$的伪逆$X^+$，计算方法为：
+因此，我们将使用方程{eq}`eq:SVDDMD`中$X$的奇异值分解来构造$X$的广义逆矩阵$X^+$，计算方法为：
 
 $$
 X^{+} =  V \Sigma^{-1}  U^\top  
@@ -219,7 +219,7 @@ $$ (eq:Xplusformula)
 
 我们可以将公式{eq}`eq:Xplusformula`与公式{eq}`eq:hatAform`结合使用来计算回归系数矩阵$\hat A$。
 
-因此，我们对$m \times m$系数矩阵$A$的估计量$\hat A = X' X^+$为：
+因此，我们对$m \times m$的系数矩阵$A$的估计量$\hat A = X' X^+$为：
 
 $$
 \hat A = X' V \Sigma^{-1}  U^\top  
@@ -227,31 +227,35 @@ $$ (eq:AhatSVDformula)
 
 ## 动态模态分解(DMD)
 
-我们转向与**动态模态分解**相关的$m >>n$**高瘦型**情况。
+接下来我们将研究一个特殊情况 -- 当变量数量$m >> n$时的情形。
 
-这里，一个$m \times n+1$数据矩阵$\tilde X$包含了比时间周期$n+1$多得多的属性（或变量）$m$。
+**动态模态分解**可以用于处理这种"高瘦型"矩阵。
 
-动态模态分解由{cite}`schmid2010`引入，
+假设有一个$m \times (n+1)$的数据矩阵$\tilde X$，它包含了比时间周期$n+1$多得多的属性（或变量）$m$。
 
-你可以阅读有关动态模态分解的内容 {cite}`DMD_book` 和 {cite}`Brunton_Kutz_2019`（第7.2节）。
+动态模态分解由{cite}`schmid2010`首次提出，
 
-**动态模态分解**（DMD）计算公式{eq}`eq:AhatSVDformula`中描述的最小二乘回归系数$\hat A$的秩为$r < p$的近似。
+你可以在 {cite}`DMD_book` 和 {cite}`Brunton_Kutz_2019`（第7.2节）中阅读有关动态模态分解的内容。
 
-我们将逐步构建一个在应用中有用的表述。
+**动态模态分解**（DMD）的目标是找到最小二乘回归系数矩阵$\hat A$的一个低秩近似，其中近似矩阵的秩$r$小于原始矩阵的秩$p$。
 
-我们将通过描述一阶线性动态系统（即我们的向量自回归）的三种替代表示来实现这一点。
+这个近似可以通过公式{eq}`eq:AhatSVDformula`来构造。
 
-**三种表示的指南：**在实践中，我们主要关注表示3。
+我们将逐步构建一种适合应用的表示。
 
-我们使用前两种表示来呈现一些有用的中间步骤，这些步骤有助于我们理解表示3的内部原理。
+我们将通过三种不同的表示方式来描述一阶线性动态系统（即我们的向量自回归），从而实现这一点。
+
+**三种表示的指南：** 在实践中，我们主要关注表示3。
+
+我们使用前两种表示来呈现一些有用的中间推导，这些步骤有助于我们理解表示3的内在原理。
 
 在应用中，我们将只使用**DMD模态**的一小部分子集来近似动态。
 
 我们使用这样一个小的DMD模态子集来构建对$A$的降秩近似。
 
-为此，我们需要使用与表示法3相关的**简化**SVD，而不是与表示法1和2相关的**完全**SVD。
+为此，我们需要使用与表示法3相关的**简化**SVD，而不是与表示法1和2相关的**完整**SVD。
 
-**给急躁读者的指南：** 在我们的应用中，我们将使用表示法3。
+**快速指南：** 如果您想直接应用这些方法，可以直接跳到表示法3。
 
 第一次阅读时，您可以跳过铺垫性的表示法1和2。
 
@@ -259,9 +263,9 @@ $$ (eq:AhatSVDformula)
 
 ## 表示法1
 
-在这个表示法中，我们将使用$X$的**完全**SVD。
+在这个表示法中，我们将使用$X$的**完整**SVD。
 
-我们使用$U$的$m$个**列**，因此也就是$U^\top$的$m$个**行**，来定义一个$m \times 1$向量$\tilde b_t$：
+我们使用$U$的$m$个**列**，即$U^\top$的$m$个**行**，来定义一个$m \times 1$的向量$\tilde b_t$：
 
 $$
 \tilde b_t = U^\top  X_t .
@@ -277,33 +281,33 @@ $$ (eq:Xdecoder)
 
 由于我们现在使用的是**完全**SVD，$U U^\top  = I_{m \times m}$。
 
-因此从方程{eq}`eq:tildeXdef2`可以得出，我们可以从$\tilde b_t$重构$X_t$。
+因此从方程{eq}`eq:tildeXdef2`可以得出，我们可以用$\tilde b_t$重新构造$X_t$。
 
 特别地，
 
-* 方程 {eq}`eq:tildeXdef2` 作为一个**编码器**，将 $m \times 1$ 向量 $X_t$ **旋转**成一个 $m \times 1$ 向量 $\tilde b_t$
+* 方程 {eq}`eq:tildeXdef2` 作为一个**编码器**，将 $m \times 1$ 向量 $X_t$ **旋转**成一个 $m \times 1$ 的向量 $\tilde b_t$
   
-* 方程 {eq}`eq:Xdecoder` 作为一个**解码器**，通过旋转 $m \times 1$ 向量 $\tilde b_t$ 来**重构** $m \times 1$ 向量 $X_t$
+* 方程 {eq}`eq:Xdecoder` 作为一个**解码器**，通过旋转 $m \times 1$ 向量 $\tilde b_t$ 来**重新构造** $m \times 1$ 的向量 $X_t$
 
-为 $m \times 1$ 基向量 $\tilde b_t$ 定义一个转移矩阵：
+为 $m \times 1$ 的基向量 $\tilde b_t$ 定义一个转移矩阵：
 
 $$ 
 \tilde A = U^\top  \hat A U 
 $$ (eq:Atilde0)
 
-我们可以通过以下方式恢复 $\hat A$：
+我们可以通过以下方式表示 $\hat A$：
 
 $$
 \hat A = U \tilde A U^\top  
 $$
 
-$m \times 1$ 基向量 $\tilde b_t$ 的动态由以下方程支配：
+$m \times 1$ 的基向量 $\tilde b_t$ 的动态由以下方程支配：
 
 $$
 \tilde b_{t+1} = \tilde A \tilde b_t 
 $$
 
-为了构建基于 $X_1$ 条件的 $X_t$ 未来值的预测 $\overline X_t$，我们可以对这个方程的两边应用解码器（即旋转器），从而推导出：
+为了构建基于 $X_1$ 的 $X_t$ 未来值的预测 $\overline X_t$，我们可以对这个方程的两边应用解码器（即旋转器），从而推导出：
 
 $$
 \overline X_{t+1} = U \tilde A^t U^\top  X_1
@@ -313,25 +317,25 @@ $$
 
 +++
 
-## 表示 2
+## 表示法 2
 
 这种表示方法与{cite}`schmid2010`最初提出的方法有关。
 
-它可以被视为获得后面将要介绍的相关表示3的一个中间步骤。
+它可以被视为推导表示3的一个中间步骤。
 
 与表示1一样，我们继续：
 
-* 使用**完全**SVD而**不是**简化SVD
+* 使用**完整**SVD而**不是**简化SVD
 
-正如我们在{doc}`奇异值分解<svd_intro>`的课程中观察和说明的那样：
+在{doc}`奇异值分解<svd_intro>`课程中我们学到:
 
-  * (a) 对于完全SVD，$U U^\top = I_{m \times m}$和$U^\top U = I_{p \times p}$都是单位矩阵
+  * (a) 对于完整SVD，$U U^\top = I_{m \times m}$和$U^\top U = I_{p \times p}$都是单位矩阵
   
   * (b) 对于$X$的简化SVD，$U^\top U$不是单位矩阵。
 
-我们稍后会看到，完全SVD对于我们最终想要做的事情来说过于局限，也就是说，处理$U^\top U$**不是**单位矩阵的情况，因为我们使用$X$的简化SVD。
+这个区别很重要，因为我们后面会使用简化SVD而不是完整SVD。这意味着我们需要处理$U^\top U$不是单位矩阵的情况。
 
-但现在，让我们假设我们使用的是完全SVD，因此条件(a)和(b)都得到满足。
+但现在，让我们假设我们使用的是完整SVD，这样条件(a)和(b)都得到满足。
 
 对方程{eq}`eq:Atilde0`中定义的$m \times m$矩阵$\tilde A = U^\top  \hat A U$进行特征分解：
 
@@ -339,7 +343,7 @@ $$
 \tilde A = W \Lambda W^{-1} 
 $$ (eq:tildeAeigen)
 
-其中$\Lambda$是特征值的对角矩阵，$W$是一个$m \times m$矩阵，其列是对应于$\Lambda$中行(特征值)的特征向量。
+其中$\Lambda$是特征值的对角矩阵，$W$是一个$m \times m$的矩阵，其每一列都对应于$\Lambda$中行(特征值)的特征向量。
 
 当$U U^\top  = I_{m \times m}$时（这在$X$的完全SVD中是成立的），可得：
 
@@ -355,10 +359,9 @@ $$
 X_{t+1} = U W \Lambda W^{-1} U^\top   X_t 
 $$
 
-将上述方程两边同时乘以$W^{-1} U^\top $得到：
-
-$$
+将上述方程两边同时乘以$W^{-1} U^\top $，得到：
 
+$
 W^{-1} U^\top  X_{t+1} = \Lambda W^{-1} U^\top  X_t 
 $$
 
@@ -368,7 +371,7 @@ $$
 \hat b_{t+1} = \Lambda \hat b_t
 $$
 
-其中我们的**编码器**是
+其中，我们的**编码器**是
 
 $$ 
 \hat b_t = W^{-1} U^\top  X_t
@@ -387,13 +390,13 @@ $$
 $$ (eq:DSSEbookrepr)
 
 实际上，
-{cite}`schmid2010`定义了一个$m \times m$矩阵$\Phi_s$为
+{cite}`schmid2010`定义了一个$m \times m$的矩阵$\Phi_s$为
 
 $$ 
 \Phi_s = UW 
 $$ (eq:Phisfull)
 
-和一个广义逆
+和一个广义逆矩阵
 
 $$
 \Phi_s^+ = W^{-1}U^\top  
@@ -414,7 +417,7 @@ $$
 \Phi_s^+ = ( \Phi_s^\top  \Phi_s)^{-1} \Phi_s^\top 
 $$
 
-使得 $m \times p$ 矩阵
+所以 $m \times p$ 的矩阵
 
 $$
 \hat b =  \Phi_s^+ X
@@ -422,13 +425,13 @@ $$
 
 是 $m \times n$ 矩阵 $X$ 在 $m \times p$ 矩阵 $\Phi_s$ 上的回归系数矩阵。
 
-我们将在讨论由 Tu 等人 {cite}`tu_Rowley` 提出的表示3时，在相关背景下进一步讨论这种解释。
+我们将在讨论由 Tu 等人 {cite}`tu_Rowley` 提出的表示法3时进一步讨论。
 
-当我们想要使用简化SVD时（这在实践中经常出现），使用表示3更为合适。
+当我们想要使用简化SVD时（这在实践中经常出现），使用表示法3更为合适。
 
-## 表示3
+## 表示法3
 
-与构建表示1和表示2的程序不同（它们都使用了**完全**SVD），我们现在使用**简化**SVD。
+与构建表示法1和表示法2的程序不同（它们都使用了**完整**SVD），我们现在使用**简化**SVD。
 
 同样，令 $p \leq \textrm{min}(m,n)$ 为 $X$ 的秩。
 
@@ -438,7 +441,7 @@ $$
 X = \tilde U \tilde \Sigma \tilde V^\top , 
 $$
 
-其中现在 $\tilde U$ 是 $m \times p$ 矩阵，$\tilde \Sigma$ 是 $p \times p$ 矩阵，而 $\tilde V^\top$ 是 $p \times n$ 矩阵。
+其中现在 $\tilde U$ 是 $m \times p$ 的矩阵，$\tilde \Sigma$ 是 $p \times p$ 的矩阵，而 $\tilde V^\top$ 是 $p \times n$ 的矩阵。
 
 我们的 $A$ 的最小范数最小二乘近似器现在的表示为
 
@@ -450,7 +453,7 @@ $$ (eq:Ahatwithtildes)
 
 **计算$\hat A$的主要特征向量**
 
-我们首先参照构建表示1时使用的步骤，通过以下方式为旋转的$p \times 1$状态$\tilde b_t$定义一个转移矩阵：
+我们首先参照构建表示法1时使用的步骤，通过以下方式为旋转的$p \times 1$状态$\tilde b_t$定义一个转移矩阵：
 
 $$ 
 \tilde A =\tilde  U^\top  \hat A \tilde U 
@@ -460,9 +463,9 @@ $$ (eq:Atildered)
 **作为投影系数的解释**
 
 
-{cite}`DDSE_book`指出$\tilde A$可以被解释为$\hat A$在$\tilde U$中$p$个模态上的投影。
+{cite}`DDSE_book`指出$\tilde A$可以被理解为$\hat A$在$\tilde U$中$p$个模态上的投影。
 
-为了验证这一点，首先注意到，由于$ \tilde U^\top  \tilde U = I$，因此：
+要验证这一点，首先注意到，由于$ \tilde U^\top  \tilde U = I$，因此：
 
 $$
 \tilde A = \tilde U^\top  \hat A \tilde U = \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1} \tilde U^\top  \tilde U 
@@ -470,17 +473,14 @@ $$
 $$ (eq:tildeAverify)
 
 
- 
-
 接下来，我们将使用标准最小二乘公式计算$\hat A$在$\tilde U$上的投影的回归系数
 
 $$
-
 (\tilde U^\top  \tilde U)^{-1} \tilde U^\top  \hat A = (\tilde U^\top  \tilde U)^{-1} \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1} \tilde U^\top  = 
 \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1} \tilde U^\top   = \tilde A .
 $$
 
-因此，我们已经验证了$\tilde A$是$\hat A$在$\tilde U$上的最小二乘投影。
+至此，我们验证了$\tilde A$是$\hat A$在$\tilde U$上的最小二乘投影。
 
 **一个逆运算的挑战**
 
@@ -492,11 +492,11 @@ $$
 \hat A \neq \tilde U \tilde A \tilde U^\top ,
 $$
 
-所以我们不能简单地从$\tilde A$和$\tilde U$恢复$\hat A$。
+所以我们不能简单地用$\tilde A$和$\tilde U$计算$\hat A$。
 
-**一个死胡同**
+**死胡同**
 
-我们可以抱着最好的希望开始，继续构造$p \times p$矩阵$\tilde A$的特征分解：
+我们可以先抱着最好的希望，继续构造$p \times p$矩阵$\tilde A$的特征分解：
 
 $$
  \tilde A =  \tilde  W  \Lambda \tilde  W^{-1} 
@@ -504,13 +504,13 @@ $$ (eq:tildeAeigenred)
 
 其中$\Lambda$是包含$p$个特征值的对角矩阵，$\tilde W$的列是对应的特征向量。
 
-仿照表示法2中的步骤，我们交叉手指计算一个$m \times p$矩阵
+仿照表示法2中的步骤，我们可以轻松计算出一个$m \times p$的矩阵
 
 $$
 \tilde \Phi_s = \tilde U \tilde W
 $$ (eq:Phisred)
 
-该矩阵对应于完整SVD中的{eq}`eq:Phisfull`。
+该矩阵对应到完整SVD中的{eq}`eq:Phisfull`。
 
 此时，当$\hat A$由公式{eq}`eq:Ahatwithtildes`给出时，计算$\hat A \tilde \Phi_s$很有意思：
 
@@ -525,19 +525,17 @@ $$
 
 $\hat A \tilde \Phi_s \neq \tilde \Phi_s \Lambda$意味着，与表示法2中的相应情况不同，$\tilde \Phi_s = \tilde U \tilde W$的列**不是**$\hat A$对应于矩阵$\Lambda$对角线上特征值的特征向量。
 
-**一个可行的方法**
+**一种可行的方法**
 
-继续寻找我们**能够**通过简化SVD计算的$\hat A$的特征向量，让我们定义一个$m \times p$矩阵$\Phi$为
+我们继续寻找**能够**通过简化SVD计算的$\hat A$的特征向量，这里不妨定义一个$m \times p$的矩阵$\Phi$：
 
 $$
 \Phi \equiv \hat A \tilde \Phi_s = X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1}  \tilde  W
 $$ (eq:Phiformula)
 
-事实证明，$\Phi$的列**确实是**$\hat A$的特征向量。
-
-这是Tu等人{cite}`tu_Rowley`所证明的一个结果，我们现在来介绍。
-
+不难发现，$\Phi$的列**确实是**$\hat A$的特征向量。
 
+这是Tu等人{cite}`tu_Rowley`证明的一个结果，我们下面来介绍。
 
 
 **命题** $\Phi$的$p$列是$\hat A$的特征向量。
@@ -571,12 +569,12 @@ $$
 
 证明至此完成。
 
-另见 {cite}`DDSE_book` (第238页)
+另见 {cite}`DDSE_book` (第238页)。
 
 
 ### $\check b$ 的解码器作为线性投影
 
-从特征分解 {eq}`eq:APhiLambda` 我们可以将 $\hat A$ 表示为：
+根据特征分解 {eq}`eq:APhiLambda` ，我们可以将 $\hat A$ 表示为：
 
 $$ 
 \hat A = \Phi \Lambda \Phi^+ .
@@ -594,7 +592,7 @@ $$
 \check b_t  = \Phi^+ X_t  
 $$ (eq:decoder102)
 
-由于 $m \times p$ 矩阵 $\Phi$ 有 $p$ 个线性独立的列，$\Phi$ 的广义逆为
+由于 $m \times p$ 矩阵 $\Phi$ 有 $p$ 个线性独立的列，$\Phi$ 的广义逆矩阵为
 
 $$
 \Phi^{+} = (\Phi^\top  \Phi)^{-1} \Phi^\top 
@@ -606,7 +604,7 @@ $$
 \check b = (\Phi^\top  \Phi)^{-1} \Phi^\top  X
 $$ (eq:checkbform)
 
-$p \times n$ 矩阵 $\check b$ 可以被识别为 $m \times n$ 矩阵 $X$ 在 $m \times p$ 矩阵 $\Phi$ 上的最小二乘回归系数矩阵，因此
+$p \times n$ 矩阵 $\check b$ 可以被视为是 $m \times n$ 的矩阵 $X$ 在 $m \times p$ 的矩阵 $\Phi$ 上的最小二乘回归系数矩阵，因此
 
 $$
 \check X = \Phi \check b
@@ -616,9 +614,9 @@ $$ (eq:Xcheck_)
 
 **$X$ 的方差分解**
 
-根据这个 quantecon 讲座 <https://python-advanced.quantecon.org/orth_proj.html> 中讨论的最小二乘投影理论，我们可以将 $X$ 表示为 $X$ 在 $\Phi$ 上的投影 $\check X$ 加上误差矩阵的和。
+根据这个 QuantEcon 讲座 <https://python-advanced.quantecon.org/orth_proj.html> 中讨论的最小二乘的投影理论，我们可以将 $X$ 表示为 $X$ 在 $\Phi$ 上的投影 $\check X$ 和误差矩阵的和。
 
-为了验证这一点，注意到最小二乘投影 $\check X$ 与 $X$ 的关系为
+要验证这一点，注意到最小二乘投影 $\check X$ 与 $X$ 的关系是
 
 $$ 
 X = \check X + \epsilon 
@@ -640,30 +638,23 @@ $$ (eq:orthls)
 重新整理正交条件 {eq}`eq:orthls` 得到 $X^\top \Phi = \check b \Phi^\top \Phi$，这就推导出公式 {eq}`eq:checkbform`。
 
 
+### 一种近似方法
 
+我们现在描述一种不使用公式 {eq}`eq:decoder102`的近似计算 $p \times 1$ 的向量 $\check b_t$ 的方法。
 
-
-### 一个近似方法
-
-
-
-我们现在描述一种近似计算 $p \times 1$ 向量 $\check b_t$ 的方法，而不是使用公式 {eq}`eq:decoder102`。
-
-具体来说，以下论述改编自 {cite}`DDSE_book`（第240页）提供了一种计算效率高的方法来近似 $\check b_t$。
+具体来说，以下论述改编自 {cite}`DDSE_book`（第240页）提供的一种高效计算方法，从而近似 $\check b_t$。
 
 为方便起见，我们将在时间 $t=1$ 应用该方法。
 
-
-
 对于 $t=1$，根据方程 {eq}`eq:Xbcheck`，我们有
 
 $$ 
    \check X_1 = \Phi \check b_1
 $$ (eq:X1proj)
 
-其中 $\check b_1$ 是一个 $p \times 1$ 向量。
+其中 $\check b_1$ 是一个 $p \times 1$ 的向量。
 
-回想上面表示1中的 $X_1 = U \tilde b_1$,其中 $\tilde b_1$ 是表示1的时间1基向量,而 $U$ 来自完整SVD分解 $X = U \Sigma V^\top$。
+回顾上面表示1中的 $X_1 = U \tilde b_1$,其中 $\tilde b_1$ 是表示1的时间1基向量,而 $U$ 来自完整SVD分解 $X = U \Sigma V^\top$。
 
 从方程 {eq}`eq:Xbcheck` 可以得出:
 
@@ -685,7 +676,7 @@ $$
   \hat b_1 = \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1} \tilde  W \check b_1
 $$
 
-回想方程 {eq}`eq:tildeAverify` 中的 $ \tilde A = \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1}$。
+回顾方程 {eq}`eq:tildeAverify` 中的 $ \tilde A = \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1}$。
 
 因此可得:
 
@@ -734,28 +725,22 @@ $$
   \hat X_{t+j} = \Phi \Lambda^j (\tilde W \Lambda)^{-1}  \tilde U^\top  X_t .
 $$ (eq:checkXevoln2)
 
-然后我们可以使用解码的 $\check X_{t+j}$ 或 $\hat X_{t+j}$ 来预测 $X_{t+j}$。
-
+然后我们可以使用解码后的 $\check X_{t+j}$ 或 $\hat X_{t+j}$ 来预测 $X_{t+j}$。
 
 
 ### 使用更少的模态
 
-在实际应用中，我们通常只使用少数几个模态，通常是三个或更少。
-
-前面的一些公式假设我们保留了与 $X$ 的奇异值相关的所有 $p$ 个模态。
+在实际应用中，我们通常只使用少数几个模态，通常不多于三个。
 
-我们可以调整公式来描述只保留 $r < p$ 个最大奇异值的情况。
+前面的一些公式假设中，我们保留了与 $X$ 的奇异值相关的所有 $p$ 个模态。
 
-在这种情况下，我们只需将 $\tilde \Sigma$ 替换为相应的 $r\times r$ 奇异值矩阵，将 $\tilde U$ 替换为对应于 $r$ 个最大奇异值的 $m \times r$ 矩阵，将 $\tilde V$ 替换为对应于 $r$ 个最大奇异值的 $n \times r$ 矩阵。
+我们可以调整公式，描述只保留 $r < p$ 个最大奇异值的情况。
 
+在这种情况下，我们只需将 $\tilde \Sigma$ 替换为相应的 $r\times r$ 奇异值矩阵，将 $\tilde U$ 替换为对应于 $r$ 个最大奇异值的 $m \times r$ 的矩阵，将 $\tilde V$ 替换为对应于 $r$ 个最大奇异值的 $n \times r$ 的矩阵。
 
 上述所有重要公式都有其对应的形式。
 
 
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 ## Python代码来源
 
-你可以在这里找到DMD的Python实现：
-
-https://mathlab.sissa.it/pydmd
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+你可以在[这里](https://mathlab.sissa.it/pydmd)找到DMD的Python实现。