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Modelagem de Problema de Alocação de Pacientes do Instituto Borboleta Azul

Desafio UniSoma 2024: Daniel Nascimento e Lucas Laredo
Data: 19 de Outubro de 2024

Definição do Problema

O objetivo é otimizar o processo de agendamento semanal de atendimentos psicológicos, maximizando a quantidade de atendimentos reais, alocando pacientes (Adultos, Adolescentes e Crianças) a profissionais voluntários ou estagiários, respeitando suas disponibilidades de horários (Segunda até Sábado, 8:00 às 20:00) e restrições de locais (podendo ser remoto ou presencial).

Conjuntos

Sejam:

• P: Conjunto de pacientes (Adultos, Adolescentes, Crianças), indexado por $p$.
• R: Conjunto de profissionais (voluntários ou estagiários), indexado por $r$.
• H: Conjunto de horários disponíveis, considerando dias e horas (De Seg a Sábado, de 8h às 20h), indexado por $h$.
• L: Conjunto de locais, incluindo atendimentos presenciais e virtuais, indexado por $l$.
• D: Subconjunto de horários do mesmo dia.
• LP: Subconjunto de Locais Presenciais $LP \subset L$.

Parâmetros

• $z_{p,r}$: Se o paciente $p \in P$ pode ser atendido pelo profissional $r \in R$.
  (1 se pode ser atendido, 0 caso contrário)
• $dispP_{p,h,l}$: Disponibilidade do paciente $p \in P$ no horário $h \in H$ e local $l \in L$ (1 se disponível, 0 caso contrário).
• $dispR_{r,h,l}$: Disponibilidade do profissional $r \in R$ no dia $d \in D$, horário $h \in H$ e local $l \in L$ (1 se disponível, 0 caso contrário).
• $o_{r}$: Horas disponíveis de cada profissional $r \in R$ na semana.

Variável de Decisão

$$ x_{p,r,h,l} = \begin{cases} 1, & \text{se o paciente } p \in P \text{ for atendido pelo profissional } r \in R,\\ & \text{no horário } h \in H, \text{ no local } l \in L, \\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases} $$

Função Objetivo

A função objetivo é maximizar o número total de atendimentos realizados:

$$ \text{Maximizar} \quad Z = \sum_{p \in P} \sum_{r \in R} \sum_{h \in H} \sum_{l \in L} x_{p,r,h,l} $$

Restrições

Restrição 1: Cada paciente deve ser atendido no máximo uma vez por semana, por um profissional, em um único dia, horário e local

$$ \sum_{r \in R} \sum_{h \in H} \sum_{l \in L} x_{p,r,h,l} \leq 1 \quad \forall p \in P $$

Restrição 2: Um paciente por vez por profissional

$$ \sum_{p \in P} \sum_{l \in L} x_{p,r,h,l} \leq 1 \quad \forall r \in R, \forall h \in H $$

Restrição 3: Disponibilidade de pacientes e profissionais

$$ x_{p,r,h,l} \leq dispP_{p,h,l} \cdot dispR_{r,h,l} \cdot z_{p,r} \quad \forall p \in P, \forall r \in R, \forall h \in H, \forall l \in L $$

Restrição 4: Limite de horas semanais por profissional

$$ \sum_{p \in P} \sum_{h \in H} \sum_{l \in L} x_{p,r,h,l} \leq o_{r} \quad \forall r \in R $$

Restrição 5: Cada profissional pode atender em no máximo um local presencial por dia

$$ \sum_{p \in P} \sum_{r \in R} \sum_{h \in D} x_{p,r,h,l} \leq 1 \quad \forall d \in D, \forall l \in LP $$